Mérnökkari tiszt, matematikus, a nem-euklideszi geometria megalkotója.
Édesanyja, Árkosi Benkő Zsuzsanna szülői házában látott napvilágot Kolozsváron. Édesapja, Bolyai Farkas (1775–1856) kora kiemelkedő matematikusa. Székely nemesi családból származik – a Bolyai-családfa 1276-ig vezethető vissza –, a Nagyszebenhez közeli Bolyán volt szerény megélhetést biztosító birtokuk. Bolyai Farkas 1796–1799 között a matematika fővárosában, Göttingenben tanult, itt kötött barátságot Carl Friedrich Gauss-szal, akivel hazatérése után is tartja a kapcsolatot.
Bolyai János 12 évesen kerül apja iskolájába, a marosvásárhelyi Református Kollégiumba, az első három évet kihagyva a negyedik osztályba. Valóságos csodagyerek, 15 évesen szép szögharmadolási eljárásra mutat rá. Édesapja szeretné Göttingenben taníttatni, de szerény tanári fizetése ezt nem teszi lehetővé. Bolyai János 1818-ban a bécsi katonai akadémiára kerül, ahol 1823-ban kitűnő eredménnyel végez, hadmérnöki képesítést szerez. Egyévi továbbképzés után alhadnagyi rangot kap és a temesvári erődítési igazgatósághoz helyezik.
A jelentésnek is beillő Reise Journalból megtudjuk, hogy szolgálati útja Bécstől Temesvárig 13 napig, 1823. szeptember 17-től 30-ig tart és 36 forintba kerül. Dóczy Antal mérnökkari alezredes, temesvári erődítési igazgató megbízza, hogy Joseph Kriger mérnökkari első százados, majd Schilling Boldizsár mérnökkari első százados útmutatása alapján kezdje meg a katonai építészmérnöki szolgálatát. Ez időrabló, de a nevezett tisztek jó mérnökök. Bolyai itt tanulja meg gyakorlatban a hadmérnöki foglalkozást.
Temesvárról írja 1823. november 3-án édesapjának a tudománytörténeti jelentőségű, híres levelet, amelyben tudatja, hogy a „semmiből egy új, más világot teremtettem.” Az abszolút, tehát a párhuzamosok tételétől független geometria megszületett. Részint már Temesvár előtt. Részletes kidolgozása azonban Temesváron és Aradon történik (1826-ban helyezik oda.) Azt is tudjuk, hogy Doczy Antal, temesvári parancsnoka nem volt mindenben megelégedve vele –feltételezhetően többet foglalkozott valóban forradalmi geometriájával, mint a vár rekonstrukciójával járó bürokráciával. Ez közvetett bizonyíték arra, hogy az a geometria, amit 1830 december elejétől 1831 májusáig tartó szabadsága alatt, apja biztatására papírra vet, a Bánságban forrt ki. Az abszolút geometria, azaz az ún. hiperbolikus geometriát kidolgozó 29 oldalas latin nyelvű értekezése édesapja Tentamen című tankönyvének függelékeként jelenik meg 1832-ben. A címe: Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens… vagyis „A tér abszolút igaz tudománya…” Bolyai Appendixe 1829-ben már teljesen kidolgozva, nyomdakészen megvolt.
De van egy szomorú mozzanat is. A mocsaras Bánság, különösen a hármas sáncárokkal körülvett temesvári erődítmény, meg az aradi is a váltóláz fészkei voltak: járványtani fel-jegyzések szerint 1826-ban és 1829-30 között malária járvány volt a vidéken. Ez a „nagy keménytermészetű szép fiú”, ahogy az apja írja, itt szedi fel az élete végéig kitartó váltólázát és reumatikus fájdalmát. Ehhez járul a többi bántalom: van munkájuk az orvos-történészeknek. A katonaélet gyöngyélet? Bolyai János esetében ez nem igaz, minként számos más esetben sem az. Bolyai Farkas azonnal
elküldi fia munkáját Gaussnak, aki kitérően válaszol. Jánost lesújtja a válasz, egészsége is megrendül, malária- és a kolerafertőzésen esik át. 1831-től Lembergben teljesít szolgálatot főhadnagyként, majd 1832-ben Olmützbe helyezik századosi rangban. Hiába kért feletteseitől felmentést a katonai szolgálat alól, hogy tudományos munkáját folytathassa, kérelmét elutasítják. Kapitányként helyezik nyugállományba 1833-ban.
Élete sora a továbbiakban sem rendeződik, anyagi és családi gondokkal küzd. Bár elszigetelten él, a tudományos munkával nem hagy fel. A lipcsei Jablonowski Társaság pályázatot írt ki a komplex számok szerepének tisztázására. Bolyai János 1837-ben 8 oldalas pályamunkát ad be Responsio (Felelet) címmel. Ebben is megelőzi korát: igyekszik tisztázni a komplex számok geometriai szerepét. A Responsio Bolyait Hamilton mellett a komplex számok algebrai elméletének megalapozójává teszi. Toró Tibor temesvári fizikus, az MTA külső tagja hívja fel a figyelmet Bolyai János egy kézirattöredékére, amely azt sejteti, hogy zseniális előrelátással felismerte a gravitációs erőtér és a geometriai térszerkezet összefüggését.
Elhagyatva hal meg 1860. január 29-én, Marosvásárhelyen. A halotti anyakönyvben ez olvasható: „Bolyai János, nyugalm. Ingenieur Kapitány – meghalt agy- és tüdőgyulladásban. – Híres, nagy elméjű matematikus volt, az elsők között is első. Kár, hogy nagy talentuma használatlanul ásatott el.”
Arckép, festmény nem maradt fenn róla. A Marosvásárhelyi Kultúrpalota homlokzatán látható dombormű talán leghitelesebb ábrázolása Bolyai János arcvonásainak. Könyvtárnyi a Bolyaiak életét és munkásságát bemutató írások száma, egyesek szerint 25000-re tehető. Schmidt Ferenc építész ügybuzgósága eredményeként Paul Stäckel német matematikus, a königsbergi, később a heidelbergi egyetem professzora dolgozta fel először a Bolyai-hagyatékot. 1913-ban német nyelven megjelent kétkötetes műve ma is a legalapvetőbb Bolyai-monográfia.
Valószínűleg még egészséges korában ismerte őt Schmidt Antal építész, aki megemlékezik egy erdélyi mérnökkari katonatisztről, aki damaszkuszi pengéjével egy vágással leütötte az ajtófélfába ütött vasszegek fejét. Ez a mendemonda jól beleillik a „fékezhetetlen” Bolyai Jánosról rajzolt képbe. De nem ez a lényeg: Schmidt Antal annak a Schmidt Ferencnek az apja, aki első és fáradhatatlan propagátora a Bolyaiak, elsősorban János életművének. S itt Bolyai János életműve ismét Temesvárhoz kapcsolódik. Temesváron működött Privorszky Alajos, az első a hazai irodalomban, aki a nemeuklideszi geometria fizikai következményeit teszi vizsgálat tárgyává. Bolyai János a szellemi Európa nagy polgáraihoz tartozik.
Temesvárt ötnyelvű emléktábla, szobor és utcanév őrzi emlékét.
